Hướng dẫn giải, đáp án bài 2,3,4,5,6 trang 36,37 SGK giải tích lớp 11(Một số phương trình lượng giác thường xuyên gặp) – Chương 1: Hàm số lượng giác cùng phương trình lượng giác.

Bạn đang xem: Bài 2 trang 36 sgk toán 11

Bài 2. Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 ; b) 2sin2x + √2sin4x = 0.

Đáp án: a) Đặt t = cosx, t ∈ <-1 ; 1> ta được phương trình 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; 1/2.

Nghiệm của phương trình đã mang đến là những nghiệm của nhì phương trình sau:

cosx = 1 ⇔ x = k2π và cosx = 1/2⇔ x = ±π/3 + k2π.

Đáp số : x = k2π ; x = ±π/3 + k2π, k ∈ Z.

b) Ta bao gồm sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), cho nên vì thế phương trình đã cho tương đương với

2sin2x(1 + √2cos2x) = 0 ⇔ 

*

*

Bài 3. Giải những phương trình sau:

a) sin2 (x/2) – 2cos(x/2) + 2 = 0; b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0;

c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0.

*
 a) Đặt t = cos (x/2), t ∈ <-1 ; 1> thì phương trình trở thành

(1 – t2) – 2t + 2 = 0 ⇔ t2 + 2t -3 = 0 ⇔ 

*

Phương trình đang cho tương đương với

cos (x/2) = 1 ⇔ x/2 = k2π ⇔ x = 4kπ, k ∈ Z.

b) Đặt t = sinx, t ∈ <-1 ; 1> thì phương trình trở thành

8(1 – t2) + 2t – 7 = 0 ⇔ 8t2 – 2t – 1 = 0 ⇔ t ∈ 1/2;-1/4.

Các nghiệm của phương trình đã cho rằng nghiệm của nhị phương trình sau :

*

và 

*

Đáp số : x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π;

x = arcsin(-1/4) + k2π; x = π – arcsin(-1/4) + k2π, k ∈ Z.

c) Đặt t = tanx thì phương trình đổi mới 2t2 + 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ -1 ; -1/2.

Vậy 

*

d) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành


Quảng cáo


t – 2/t + 1 = 0 ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -2.

Vậy 

*

Bài 4: Giải những phương trình sau:

a) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0;

b) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2;

c) 3sin2x – sin2x + 2cos2x = 1/2 ;

d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4.

Giải: a) thường thấy cosx = 0 không vừa lòng phương trình đã cho nên vì thế chiaw phương trình cho cos2x ta được phương trình tương tự 2tan2x + tanx – 3 = 0.

Xem thêm: 1 Cent Bằng Bao Nhiêu Tiền Việt, Nam (Vnd)

Đặt t = tanx thì phương trình này trở thành

2t2 + t – 3 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -3/2.

Vậy 

*

b) thế 2 = 2(sin2x + cos2x), phương trình đã đến trở thành

3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2sin2x + 2cos2x

⇔ sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = 0

⇔ tan2x – 4tanx + 3 = 0

⇔ 

*

⇔ x = Π/4 + kπ ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z.

c) nắm sin2x = 2sinxcosx ;


Quảng cáo


1/2=1/2(sin2x + cos2x) vào phương trình đã cho và rút gọn ta được phương trình tương đương

1/2 sin2x + 2sinxcosx – 5/2cos2x = 0 ⇔ tan2x + 4tanx – 5 = 0 ⇔ 

*

⇔ x = π/4 + kπ ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z.

d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4

⇔ 2cos2x – 3√3sin2x + 4 – 4sin2x = 0

⇔ 6cos2x – 6√3sinxcosx = 0 ⇔ cosx(cosx – √3sinx) = 0

⇔ 

*

Bài 5. Giải những phương trình sau:

a) cosx – √3sinx = √2; b) 3sin3x – 4cos3x = 5;

c) 2sin2x + 2cos2x – √2 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0.

Giải: a) cosx – √3sinx = √2 ⇔ cosx – tan π/3sinx = √2

⇔ cos π/3cosx – sinπ/3sinx = √2cosπ/3⇔ cos(x +π/3) = √2/2

*

b) 3sin3x – 4cos3x = 5 ⇔ 3/5sin3x – 4/5cos3x = 1.

Đặt α = arccos thì phương trình trở thành

cosαsin3x – sinαcos3x = 1 ⇔ sin(3x – α) = 1 ⇔ 3x – α = π/2 + k2π

⇔ x = π/6 +α/3 +k(2π/3) , k ∈ Z (trong đó α = arccos3/5).

c) Ta tất cả sinx + cosx = √2cos(x – π/4) đề nghị phương trình tương đương với 2√2cos(x – π/4) – √2 = 0 ⇔ cos(x – π/4) = 1/2

*

d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0 ⇔ 

*

Đặt α = arccos5/13 thì phương trình trở thành

cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x – α) = 1

⇔ x = α/2 + kπ, k ∈ Z (trong đó α = arccos 5/13).

Bài 6. a. Tan (2x + 1)tan (3x – 1) = 1;

b. Tung x + tan (x + π/4) = 1

*

*

Ôn lại Lý thuyết

Phương pháp giải phương trình hàng đầu đối với một hàm số lượng giác

Chỉ buộc phải thực hiên nhì phép biến hóa tương đương: nhảy số hạng không chứa x thanh lịch vế buộc phải và thay đổi dấu; chia hai vế phương trình cho một trong những khác 0 là ta có thể đưa phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.

Phương pháp giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Đặt hàm con số giác chứa ẩn phụ ta chuyển được phương trình về dạng một phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc hai này. Trường hợp phương trình bậc hai tất cả nghiệm thì gắng giá trị của nghiệm tìm kiếm được trở lại phép để ta sẽ được một phương trình lượng giác cơ phiên bản đã biết cách giải.

Phương pháp giải phương trình asinx + bcosx = c

Chỉ buộc phải xét trường thích hợp cả hai thông số a, b mọi khác 0 (trường hợp 1 trong những hai hệ số đó bởi 0 thì phương trình yêu cầu giải là hpuwong trình hàng đầu đối với 1 hàm số lượng giác (sinx hoặc cosx) đã biết cách giải.

Cách 1: chia hai vế phương trình đến

*
 và gọi α là góc lượng giác tạo bởi vì chiều dương của trục hoành cùng với vecto OM = (a ; b) thì phương trình đổi mới một phương trình đã biết phương pháp giải:
*
Cách 2: Viết lại phương trình bên dưới dạng
*
, phương trình biến :
*

Phương trình này đã hiểu phương pháp giải.

Chú ý : Để phương trình 

*
 có nghiệm, đk cần với đủ là

*

Đó cũng là đk cần và đủ nhằm phương trình asinx + bcosx = c bao gồm nghiệm.

Phương pháp giải các phương trình chuyển được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai so với một hàm số lượng giác

Hệ thống những công thức lượng giác rất đa dạng nên những phương trình lượng giác cũng khá đa dạng. Thực hiện thành thạo các phép đổi khác lượng giác các em hoàn toàn có thể đưa các phương trình nên giải về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Chẳng hạn, phương trình sang trọng bậc hai so với cosx với sinx :

a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = d

có thể đưa về dạng phương trình bậc hai so với tanx bằng phương pháp chia phương trình cho cos2x. Cũng chính vì sự đa dạng chủng loại và đa dạng mẫu mã ấy nên cửa hàng chúng tôi cũng chỉ rất có thể minh họa cách thức giải thông qua một số ví dụ điển hình và những em hoàn toàn có thể nắm vững cách thức giải trải qua nhiều bài tập.