Phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Thành thạo cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng sẽ giúp các em học sinh có thể chứng minh được hai mặt phẳng song song với nhau.
Đang xem: Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
3. Ví dụ cách đường thẳng song song với mặt phẳng
Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ SA$ và $SB. $ Chứng minh rằng $ MNparallel(ABCD). $
Hướng dẫn. Vì $ MN $ là đường trung bình trong tam giác $ SAB $ nên $ MNparallel AB. $ Như vậy ta có < egin{cases}MN otsubset (ABCD)\ MNparallel ABsubset (ABCD) end{cases} > Suy ra $ MNparallel(ABCD). $
Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AB,CD $. Chứng minh rằng $ MNparallel(SBC),MNparallel(SAD). $ Gọi $ P $ là trung điểm $ SA, $ chứng minh rằng $ SB,SC $ cùng song song với mặt phẳng $ (MNP). $ Gọi $ G_1,G_2 $ lần lượt là trọng tâm tam giác $ ABC $ và $ SBC. $ Chứng minh rằng $ G_1G_2parallel(SAB).$
Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm hình bình hành thì $ SCparallel PO. $ Gọi $ I $ là trung điểm $ BC $ và xét tam giác $ SAI $ có $ G_1G_2parallel SA. $
Ví dụ 3. Cho tứ diện $ABCD$ có $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABD. $ Lấy điểm $ M $ thuộc cạnh $ BC $ sao cho $ MB=2MC. $ Chứng minh rằng $ MGparallel (ACD) $.
Hướng dẫn. Kéo dài $ BG $ cắt $ AD $ tại $ E $ thì $ (BMG)cap(ACD)=CE. $ Đi chứng minh $ MGparallel CE $ và suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 4. Cho hai hình bình hành $ ABCD $ và $ ABEF $ không đồng phẳng. Chứng minh rằng bốn điểm $ C, D, E, F $ đồng phẳng. Gọi $ O, I $ là tâm các hình bình hành $ ABCD, ABEF $. Chứng minh rằng $ OIparallel (BCE), OI parallel (ADF). $ Gọi $ M, N $ lần lượt là trọng tâm tam giác $ ABD, ABF $. Chứng minh rằng $ MNparallel (CDFE) $.
Hướng dẫn. Chỉ ra $ MNparallel DF $ nên….
Ví dụ 5. Hai hình bình hành $ ABCD,ABEF $ có chung cạnh $ AB $ và không đồng phẳng. Trên các cạnh $ AD, BE $ lần lượt lấy các điểm $ M, N $ sao cho $frac{AM}{AD}=frac{BN}{BE}$. Chứng minh đường thẳng $ MN $ song song với mặt phẳng $ (CDFE) $.
Hướng dẫn. Trên $ CE $ lấy điểm $ P $ sao cho $ frac{CP}{CE}=frac{BN}{BE} $. Chứng minh tứ giác $ DMNP $ là hình bình hành. Từ đó suy ra $ MNparallel DP $ và có điều phải chứng minh.
Ví dụ 6. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có $ ABCD $ là hình bình hành, $ G $ là trọng tâm của tam giác $ SAB $ và $ E $ là điểm trên cạnh $ AD $ sao cho $ DE = 2EA $. Chứng minh rằng $ GEparallel(SCD)$.
Hướng dẫn. Gọi $ H $ là trọng tâm tam giác $ SCD $ thì chứng minh được $ GEparallel HD. $
4. Bài tập chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $AB, CD, SA.$ Chứng minh: $MN parallel (SBC); MN parallel (SAD)$; $SB parallel (MNP); SC parallel (MNP)$. Gọi $I, J$ là trọng tâm tam giác $ ACD,SCD $. Chứng minh: $IJ parallel (SAB), IJ parallel (SAD), IJ parallel (SAC).$
Bài 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $I, J$ là trung điểm $BC, SC$ và $ Kin SD$ sao cho $KD=2SK.$ Chứng minh: $OJ parallel (SAD), OJ parallel (SAB) $; $IO parallel (SCD), IJ parallel (SBD)$. Gọi $M$ là giao điểm của $AI$ và $BD$. Chứng minh: $MK parallel (SBC)$.
Bài 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$ và $M, N, P$ là trung điểm $SB, SO, OD.$ Chứng minh: $MN parallel (ABCD), MO parallel (SCD)$; $NP parallel (SAD),$ tứ giác $ NPOM$ là hình gì? Gọi $Iin SD$ sao cho $SD = 4ID$. Chứng minh $PI parallel (SBC), PI parallel (SAB)$.