Trong thực tế, ta thường gặp các vật như: hộp phấn, kệ sách, bàn học,.. là các hình trong không gian. Môn học nghiên cứu các hình trong không gian được gọi là Hình học không gian. Để mở đầu cho khái niệm này, HỌC247 xin giới thiệu đến các em bài học Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng.
Đang xem: đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Các tính chất thừa nhận
1.2. Cách xác định mặt phẳng
1.3. Hình chóp và hình tứ diện
2. Bài tập minh hoạ
3.Luyện tập bài 1 chương 2 hình học 11
3.1 Trắc nghiệm vềĐại cương về đường thẳng và mặt phẳng
3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao vềĐại cương về đường thẳng và mặt phẳng
4.Hỏi đáp vềbài 1 chương 2 hình học 11
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.
Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng .
Trên mỗi mặt phẳng các, kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
1.2. Cách xác định mặt phẳng
Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:
Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.Nó đi qua một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó.Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
Các kí hiệu:
+ (left( {ABC}
ight)) là kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng (A,B,C) ( h1)
.png)
+ (left( {M,d}
ight)) là kí hiệu mặt phẳng đi qua (d) và điểm (M
otin d) (h2)
.png)
+ (left( {{d_1},{d_2}}
ight)) là kí hiệu mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau ({d_1},{d_2}) (h3)
.png)
1.3. Hình chóp và hình tứ diện
a) Hình chóp
Trong mặt phẳng (left( alpha
ight)) cho đa giác lồi ({A_1}{A_2}…{A_n}). Lấy điểm (S) nằm ngoài (left( alpha
ight)).
Lần lượt nối (S) với các đỉnh ({A_1},{A_2},…,{A_n}) ta được (n) tam giác (S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},…,S{A_n}{A_1}). Hình gồm đa giác ({A_1}{A_2}…{A_n}) và (n) tam giác (S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},…,S{A_n}{A_1})được gọi là hình chóp , kí hiệu là (S.{A_1}{A_2}…{A_n}).
Ta gọi (S) là đỉnh, đa giác ({A_1}{A_2}…{A_n}) là đáy , các đoạn (S{A_1},S{A_2},…,S{A_n}) là các cạnh bên, ({A_1}{A_2},{A_2}{A_3},…,{A_n}{A_1}) là các cạnh đáy, các tam giác (S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},…,S{A_n}{A_1}) là các mặt bên…
b) Hình Tứ diện
Cho bốn điểm (A,B,C,D) không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác (ABC,ABD,)
(ACD) và (left( {BCD}
ight)) được gọi là tứ diện (ABCD).
Bài tập minh họa
Bài toán 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
Phương pháp:Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến.
Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng (left( alpha
ight))và (left( eta
ight))thường được tìm như sau :
Tìm hai đường thẳng (a,b) lần lượt thuộc (left( alpha
ight))và (left( eta
ight)), đồng thời chúng cùng nằm trong mặt phẳng (left( gamma
ight)) nào đó; giao điểm (M = a cap b) chính là điểm chung của (left( alpha
ight))và (left( eta
ight)).
.png)
Bài 1:
Cho hình chóp (S.ABCD), đáy (ABCD) là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm (M) thuộc cạnh (SA).
Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:
a) (left( {SAC}
ight)) và (left( {SBD}
ight)).
b) (left( {SAC}
ight)) và (left( {MBD}
ight)).
c) (left( {MBC}
ight)) và (left( {SAD}
ight)).
d) (left( {SAB}
ight)) và (left( {SCD}
ight)).
Hướng dẫn giải:
.png)
a)Gọi (O = AC cap BD)
(egin{array}{l} Rightarrow left{ egin{array}{l}O in AC subset left( {SAC}
ight)\O in BD subset left( {SBD}
ight)end{array}
ight.\ Rightarrow O in left( {SAC}
ight) cap left( {SBD}
ight)end{array})Lại có (S in left( {SAC}
ight) cap left( {SBD}
ight))
( Rightarrow SO = left( {SAC}
ight) cap left( {SBD}
ight)).
b) (O = AC cap BD)
( Rightarrow left{ egin{array}{l}O in AC subset left( {SAC}
ight)\O in BD subset left( {MBD}
ight)end{array}
ight.)
( Rightarrow O in left( {SAC}
ight) cap left( {MBD}
ight)).
Và (M in left( {SAC}
ight) cap left( {MBD}
ight) Rightarrow OM = left( {SAC}
ight) cap left( {MBD}
ight)).
c) Trong (left( {ABCD}
ight)) gọi (F = BC cap AD Rightarrow left{ egin{array}{l}F in BC subset left( {MBC}
ight)\F in AD subset left( {SAD}
ight)end{array}
ight. Rightarrow F in left( {MBC}
ight) cap left( {SAD}
ight))
Và (M in left( {MBC}
ight) cap left( {SAD}
ight) Rightarrow FM = left( {MBC}
ight) cap left( {SAD}
ight))
d) Trong (left( {ABCD}
ight)) gọi (E = AB cap CD), ta có (SE = left( {SAB}
ight) cap left( {SCD}
ight)).
Bài toán 02: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI
Phương pháp:
Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng còn lại.Bài 2:
Cho tứ diện (SABC). Trên (SA,SB) và (SC) lấy các điểm (D,E) và (F) sao cho (DE) cắt (AB) tại (I),(EF) cắt (BC) tại (J), (FD) cắt (CA) tại (K). Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
.png)
Ta có (I = DE cap AB,DE subset left( {DEF}
ight) Rightarrow I in left( {DEF}
ight);)
(AB subset left( {ABC}
ight) Rightarrow I in left( {ABC}
ight){
m{ }}left( 1
ight)).Tương tự (J = EF cap BC)
( Rightarrow left{ egin{array}{l}J in EF in left( {DEF}
ight)\J in BC subset left( {ABC}
ight)end{array}
ight.{
m{ }}left( 2
ight))(K = DF cap AC)
( Rightarrow left{ egin{array}{l}K in DF subset left( {DEF}
ight)\K in AC subset left( {ABC}
ight)end{array}
ight.{
m{ }}left( 3
ight))Từ (1),(2) và (3) ta có (I,J,K) là điểm chung của hai mặt phẳng (left( {ABC}
ight)) và (left( {DEF}
ight)) nên chúng thẳng hàng.
Bài 3:
Cho hình chóp tứ giác (S.ABCD), gọi (O) là giao điểm của hai đường chéo (AC) và (BD). Một mặt phẳng (left( alpha
ight)) cắt các cạnh bên (SA,SB,SC,SD) tưng ứng tại các điểm (M,N,P,Q). Chứng minh MN, PQ, SO đồng quy.
Hướng dẫn giải:
.png)
Trong mặt phẳng (left( {MNPQ}
ight)) gọi (I = MP cap NQ).
Ta sẽ chứng minh (I in SO) .
Dễ thấy (SO = left( {SAC}
ight) cap left( {SBD}
ight)).
(left{ egin{array}{l}I in MP subset left( {SAC}
ight)\I in NQ subset left( {SBD}
ight)end{array}
ight.)
( Rightarrow left{ egin{array}{l}I in left( {SAC}
ight)\I in left( {SBD}
ight)end{array}
ight. Rightarrow I in SO)
Vậy (MP,NQ,SO) đồng qui tại (I).
Bài toán 03: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Để tìm giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (left( P
ight)) ta cần lưu ý một số trường hợp sau:
.png)
Trường hợp 1. Nếu trong (left( P
ight)) có sẵn một đường thẳng (d”) cắt (d) tại (M), khi đó (left{ egin{array}{l}M in d\M in d” subset left( P
ight)end{array}
ight. Rightarrow left{ egin{array}{l}M in d\M in left( P
ight)end{array}
ight. Rightarrow M = d cap left( P
ight))
Trường hợp 2. Nếu trong (left( P
ight)) chưa có sẵn (d”) cắt (d) thì ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn một mặt phẳng (left( Q
ight))chứa (d)Bước 2: Tìm giao tuyến (Delta = left( P
ight) cap left( Q
ight))Bước 3: Trong (left( Q
ight)) gọi (M = d cap Delta ) thì (M) chính là giao điểm của (d cap left( P
ight)).Bài 4:
Cho hình chóp tứ giác (S.ABCD) với đáy (ABCD) có các cạnh đối diện không song song với nhau và (M) là một điểm trên cạnh (SA).
a) Tìm giao điểm của đường thẳng (SB) với mặt phẳng (left( {MCD}
ight)).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng (MC) và mặt phẳng (left( {SBD}
ight)).
Hướng dẫn:
.png)
a) Trong mặt phẳng (left( {ABCD}
ight)), gọi (E = AB cap CD).
Trong (left( {SAB}
ight)) gọi.
Ta có (N in EM subset left( {MCD}
ight) Rightarrow N in left( {MCD}
ight)) và (N in SB) nên (N = SB cap left( {MCD}
ight)).
b) Trong (left( {ABCD}
ight)) gọi (I = AC cap BD).
Trong (left( {SAC}
ight)) gọi (K = MC cap SI).
Ta có (K in SI subset left( {SBD}
ight)) và (K in MC) nên (K = MC cap left( {SBD}
ight)).