Giải bài tập trang 18 bài 2 cực trị của hàm số SGK Giải tích 12. Câu 1: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:…
Đang xem: Giải bài 1 trang 18 sgk toán 12
Bài 1 trang 18 sách sgk giải tích 12
Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau :
a) (y{
m{ }} = {
m{ }}2{x^{3}} + {
m{ }}3{x^2}-{
m{ }}36x{
m{ }}-{
m{ }}10) ;
b) (y{
m{ }} = {
m{ }}x{^4} + {
m{ }}2{x^2}-{
m{ }}3) ;
c) (y = x + {1 over x})
d) (y{
m{ }} = {
m{ }}{x^3}{left( {1{
m{ }}-{
m{ }}x}
ight)^{2}});
e) (y = sqrt {{x^2} – x + 1})
Giải:
a) Tập xác định: (D = mathbb R)
(eqalign{& y” = 6{{
m{x}}^2} + 6{
m{x}} – 36;y” = 0 cr & Leftrightarrow left< matrix{x = 2left( {y = - 54}
ight) hfill cr x = - 3left( {y = 71}
ight) hfill cr}
ight. cr} )
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực trị tại (x = -3) và (y)CĐ (= 71)
Hàm số đạt cực tiểu tại (x = 2) và (y)CT (= -54)
b) Tập xác định: (D =mathbb R)
(y” = 4{{
m{x}}^3} + 4{
m{x}} = 4{
m{x}}left( {{x^2} + 1}
ight));
(y” = 0 Leftrightarrow x = 0left( {y = – 3}
ight))
Bảng biến thiên:
Hàm số có điểm cực tiểu tại (x = 0) và (y)CT (= -3)
c) Tập xác định: (D = mathbb R) { 0 }
(eqalign{& y” = 1 – {1 over {{x^2}}} = {{{x^2} – 1} over {{x^2}}};y” = 0 cr & Leftrightarrow {x^2} – 1 = 0 Leftrightarrow left< matrix{x = 1left( {y = 2} ight) hfill cr x = - 1left( {y = - 2} ight) hfill cr} ight. cr})
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại (x = -1), (y)CĐ (= -2)
Hàm số đạt cực tiểu tại (x = 1), (y)CT (= 2)
d) Tập xác định (D = mathbb R)
( y” = 3{{
m{x}}^2}{left( {1 – x}
ight)^2} – 2{{
m{x}}^3}left( {1 – x}
ight) )
(= {x^2}left( {1 – x}
ight)left( {3 – 5{
m{x}}}
ight))
(eqalign{& y” = 0 Leftrightarrow left< matrix{x = 1left( {y = 0} ight) hfill cr x = {3 over 5}left( {y = {{108} over {3125}}} ight) hfill cr x = 0 hfill cr} ight. cr} )
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại (x = {3 over 5};y = {{108} over {3125}})
Hàm số đạt cực tiểu tại (x = 1), (y)CT =( 0)
e) Vì (x^2) –( x + 1 > 0, ∀ ∈ mathbb R) nên tập xác định : (D = mathbb R)
(y” = {{2{
m{x}} – 1} over {2sqrt {{x^2} – x + 1} }};y = 0 Leftrightarrow x = {1 over 2}left( {y = {{sqrt 3 } over 2}}
ight))
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực tiểu tại (x = {1 over 2};{y_{CT}} = {{sqrt 3 } over 2})
Bài 2 trang 18 sách sgk giải tích 12
Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a) (y{
m{ }} = {
m{ }}{x^4} – {
m{ }}2{x^2} + {
m{ }}1) ; (b) y = sin2x – x);
c)(y = sinx + cosx); d)(y{
m{ }} = {
m{ }}{x^5}-{
m{ }}{x^3}-{
m{ }}2x{
m{ }} + {
m{ }}1).
Giải:
a) (y”{
m{ }} = 4{x^3}-{
m{ }}4x{
m{ }} = {
m{ }}4x({x^2} – {
m{ }}1)) ;
(y” = 0) (⇔ 4x()(x^2)( – 1) = 0 ⇔ x = 0, x = pm 1).
( y”” = 12x^2-4).
(y””(0) = -4 cđ =( y(0) = 1).
(y””(pm 1) = 8 > 0) nên hàm số đạt cực tiểu tại (x = pm1),
(y)ct = (y(pm1)) = 0.
b) (y” = 2cos2x – 1) ; (y”=0Leftrightarrow cos2x=frac{1}{2}Leftrightarrow 2x=pm frac{pi }{3}+k2pi)
(Leftrightarrow x=pm frac{pi }{6}+kpi .)
(y”” = -4sin2x) .
(y””left ( frac{pi }{6} +kpi
ight )=-4sinleft ( frac{pi }{3} +k2pi
ight )=-2sqrt{3}cđ =( sin(frac{pi }{3}+ k2π) – frac{pi }{6} – kπ) = (frac{sqrt{3}}{2}-frac{pi }{6}- kπ) , (k ∈mathbb Z).
(y””left ( -frac{pi }{6} +kpi
ight )=-4sinleft (- frac{pi }{3} +k2pi
ight )=2sqrt{3}>0) nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm (x =-frac{pi }{6}+ kπ),
(y)ct = (sin(-frac{pi }{3}+ k2π) + frac{pi }{6} – kπ) =(-frac{sqrt{3}}{2}+frac{pi }{6} – kπ) , (k ∈mathbb Z).
c) (y = sinx + cosx )= (sqrt{2}sinleft (x+frac{pi }{4}
ight ));
( y” )=(sqrt{2}cosleft (x+frac{pi }{4}
ight )) ;
(y”=0Leftrightarrow cosleft (x+frac{pi }{4}
ight )=0Leftrightarrow)(x+frac{pi }{4} =frac{pi }{2}+kpi Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+kpi .)
(y””=-sqrt{2}sinleft ( x+frac{pi }{4}
ight ).)
(y””left ( frac{pi }{4} +kpi
ight )=-sqrt{2}sinleft ( frac{pi }{4}+kpi +frac{pi }{4}
ight ))
(=-sqrt{2}sinleft ( frac{pi }{2} +kpi
ight ))
(=left{ matrix{- sqrt 2 ext{ nếu k chẵn} hfill cr sqrt 2 ext{ nếu k lẻ} hfill cr}
ight.)
Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm (x=frac{pi }{4}+k2pi),
đạt cực tiểu tại các điểm (x=frac{pi }{4}+(2k+1)pi (kin mathbb{Z}).)
d) (y”{
m{ }} = {
m{ }}5{x^4} – {
m{ }}3{x^2} – {
m{ }}2{
m{ }} = {
m{ }}({x^2} – {
m{ }}1)(5{x^2} + {
m{ }}2)); (y”{
m{ }} = {
m{ }}0 Leftrightarrow {x^{2}} – {
m{ }}1{
m{ }} = {
m{ }}0 Leftrightarrow {
m{ }}x{
m{ }} = pm 1).
(y””{
m{ }} = {
m{ }}20{x^{3}} – {
m{ }}6x).
(y””(1) = 14 > 0) nên hàm số đạt cực tiểu tại (x = 1),
(y)ct =( y(1) = -1).
(y””(-1) = -14 cđ = (y(-1) = 3).
Bài 3 trang 18 sách sgk giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số (y=sqrt{left | x
ight |}) không có đạo hàm tại (x = 0) nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Xem thêm: Top 5 Phần Mềm Check Mã Vạch Tốt Nhất Hiện Nay, 7 Ứng Dụng Quét Mã Vạch Trên Điện Thoại Tốt Nhất
Giải:
Đặt (y=f(x)=sqrt{left | x
ight |}). Giả sử (x > 0), ta có :
(underset{x
ightarrow 0^{+}}{lim}frac{sqrt{x}}{x}=underset{x
ightarrow 0^{+}}{lim}frac{1}{sqrt{x}}=+infty .)
Do đó hàm số không có đạo hàm tại (x = 0) . Tuy nhiên hàm số đạt cực tiểu tại (x = 0) vì (f(x)=sqrt{left | x
ight |}geq 0=f(0),forall xinmathbb R).