*

Bài 1 (trang 107 SGK Đại số 11):

Khi như thế nào thì cấp cho số cộng là hàng số tăng, dãy số giảm?

Lời giải:

Ta có: un+1 – un = q => (un) là hàng số tăng nếu công không đúng q > 0, hàng số bớt nếu công không nên q 1  0

b.q n = u1.qn-1 ∀n > 1, q > 0, u1 un 1

b.Nếu q n = u1.qn-1 = (-1)n .|u1|.|qn-1| ∀ n > 1

un > 0 giả dụ n chẵn, cùng un n), (vn) gồm công sai lần lượt là d1, d2 cùng những số hạng bằng nhau, nghĩa là:

u1, u2, …, un (1) và v1, v2,…, vn (2)

Xét dãy số (an) với an = un + vn , n ∈ N*

a1 = u1 + v1

a2 = u2 + v2 = u1 + d1 + v1 + d2 = (u1 + v1 ) + (d1 + d2)

an = un + vn = u1 + (n – 1)d1 + v1 + ( n – 1)d2

= (u1 + v1) + (n – 1)(d1 + d2)

Điều đó cho biết dãy số nhưng mà mỗi số hạng là tổng các số hạng tương xứng của hai cấp số cộng (1) cùng (2) cũng là một trong những cấp số cộng với công sai bằng tổng những công không nên của hai cung cấp số cùng kia.

Bạn đang xem: Ôn tập chương 3 đại số 11

Ví dụ: 1, 4, 7, 10, 13, 16 công sai: d1 = 3

20, 18, 16, 14, 12, 10 công sai: d2 = – 2

Dãy tổng những số hạng tương ứng là: 21, 22, 23, 24, 25, 26 là cấp số cộng bao gồm công sai

d = d1 + d2 = 3 + (-2) = 1.

Bài 4 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho hai cấp cho số nhân bao gồm cùng các số hạng. Tích những số hạng tương ứng của chúng gồm lập thành cung cấp số nhân không? vày sao? cho 1 ví dụ minh họa.

Lời giải:

Giả sử tất cả hai cấp số nhân (un), (vn) cùng với công bội tương ứng q1 và q2.

Xét dãy số (an) với an = un.vn

Ta có: un = u1.q1n-1 vn = v1.q2n-1

an = un.vn = (u1v1).(q1q2)n-1

vậy hàng số (an) là cấp cho số nhân với công bội q = q1q2.

Bài 5 (trang 107 SGK Đại số 11): Chứng minh với đa số n ∈ N*, ta có:

a. 13n – 1 chia hết cho 6

b. 3n3 + 15 chia hết đến 9

Lời giải:

a. Xét un = 13n – 1

ta có: cùng với n = 1 thì u1 = 13 – 1 = 12 phân tách hết 6

giả sử: uk = 13k – 1 phân tách hết đến 6

Ta có: uk+1 = 13k+1 – 1 = 13k+1 + 13k – 13k – 1

= 13k(13 – 1) + 13k – 1

= 12.13k + uk

=> uk+1 là tổng nhì số hạng, từng số hạng chia hết đến 6.

Vậy uk+1 chia hết số 6

Như vậy, mỗi số hạng của hàng số (un) hầu hết chia hết mang đến 6 ∀n ∈ N*

b. 3n3 + 15n phân chia hết mang lại 9

Đặt un = 3n3 + 15n

+ với n = 1 => u1 = 18 chia hết 9

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

uk = (3k2 + 15k) phân tách hết 9 (giả thiết quy nạp)

+ Ta bệnh minh: uk+1 chia hết 9

Thật vậy, ta có:

uk+1 = 3(k + 1)3 + 15(k + 1 ) = 3(k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15k + 15

= (3k3 + 15k) + 9k2 + 9k + 18 = (3k3 + 15) + 9(k2 + k + 2)

= uk + 9(k2 + k + 2)

Theo trả thiết uk chia hết 9, không chỉ có vậy 9(k2 + k + 2) phân chia hết 9 k ≥ 1

Do đó uk+1 cũng chia hết cho 9.

Vậy un = 3n3 + 15n chia hết đến 9 ∀n ∈ ∈ N*

Bài 6 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho hàng số (un) biết u1 = 2, un+ 1 = 2un – 1 (với n ≥ 1)

a.Viết năm số hạng đầu của dãy.

b.Chứng minh un = 2n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a. 5 số hạng đầu dãy là:

u1 = 2; u2 = 2u1 – 1 = 3; u3 = 2u2 – 1 = 5;

u4 = 2u3 – 1 = 9 u5 = 2u4 – 1 = 17

b. Hội chứng minh: un = 2n-1 + 1 bằng phương thức quy nạp:

Với n = 1 => u1 = 21-1 + 1 = 2 (đúng).

Giả sử (un) đúng với n = k ≥ 1

Tức là uk = 2k-1 + 1 (1)

Ta phải minh chứng phương trình đã mang lại đúng cùng với n = k + 1 nghĩa là:

uk+1 = 2k+1-1 + 1 = 2k + 1

Theo đưa thiết: uk+1 =2uk-1

(1) uk+1 = 2(2k-1 + 1) – 1 = 2.2k.2-1 + 2 – 1 = 2k + 1

Biểu thức đã mang đến đúng cùng với n = k + 1, vậy nó đúng với n ∈ N*

Bài 7 (trang 107 SGK Đại số 11): Xét tính tăng, sút và bị chặn của các dãy số (un), biết:

*

Lời giải:

*

vì là dãy tăng cần u1 = 2 2 3 n ∀n ∈ N*

=> un > 2 => (un) bị chặn dưới.

Vì un = n + 1 > n ∀n ∈ N*

=> (un) không xẩy ra chặn trên. Vậy un không bị chặn.

*

=> u1 > 0; u2 > 0; u3 > 0; u4 > 0

Và u1 > u2; u2 > u3; u3 > u4; …

Vậy dãy số (un ) không tăng, không giảm => (un) không đối kháng điệu.

*

Bài 8 (trang 107 SGK Đại số 11): Tìm số hạng đầu u1 và công không đúng d của những cấp số cộng (un), biết:

Lời giải:

Bài 8 (trang 107 SGK Đại số 11): Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của những cấp số cộng (un), biết:

Lời giải:

Bài 10 (trang 108 SGK Đại số 11): Tứ giác ABCD gồm số đo của các góc lập thành một cung cấp số cộng theo đồ vật tự A, B, C, D. Hiểu được góc C gấp 4 lần góc A. Tính những góc của tứ giác.

Lời giải:

Kí hiệu: ∠ : góc

Các góc của tứ giác là ∠A, ∠B, ∠C, ∠D ( ∠A > 0) tạo ra thành cung cấp số cộng:

Vậy ∠B=∠A + d, ∠C=∠A + 2d, ∠D= ∠A+3d.

Xem thêm:

Theo trả thiết ta có:∠ C =5∠A => ∠A + 2d = 5∠A 2 chiều = 4∠A

Mặt khác ∠A + B ∠ + C ∠ + ∠D =360o

=> ∠A + ∠A +d + ∠A +2d + ∠A +3d = 360o

4∠A + 12∠A = 360o  16∠A = 360o  ∠A= 22o30′, d=45o

Vậy ∠B = 67o30′; ∠C = 112o30’; ∠D = 157o30′

Bài 11 (trang 108 SGK Đại số 11): Biết rằng cha x, y, z lập thành một cung cấp số nhân và tía số x, 2y, 3z lập thành một cấp cho số cộng. Tìm kiếm công bội của cung cấp số nhân.

Lời giải:

Cấp số nhân (un) có công bội q rất có thể viết bên dưới dạng:

u1,u1q,u1q2,…,u1qn-1

vì x, y, z lập thành cung cấp số nhân nên: y = x.q, z = x.q2 (1)

Mặt không giống x, 2y, 3z lập thành cung cấp số cộng bắt buộc (x+3z)/2= 2y (2)

*

Bài 12 (trang 108 SGK Đại số 11): Người ta thiết kế một cái tháp bao gồm 11 tầng. Diện tích mặt phẳng trên của từng tầng bằng nửa diện tích s của khía cạnh trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng một bằng nữa diện tích s đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12.288m2. Tính diện tích s mặt bên trên cùng.

Lời giải:

Gọi S là diện tích mặt đáy của tháp

S = 12.288 m2

Gọi S1, S2, S3…S11 là diện tích mặt phẳng của từng tầng.

Diện tích của tầng một bởi nửa diện tích của đáy tháp

*

Vậy diện tích mặt bên trên cùng chính là diện tích tầng tháp sản phẩm công nghệ 11 nên:

*

Bài 13 (trang 108 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng nếu những số a2, b2, c2 lập thành một cung cấp số cùng (a, b, c ≠ 0) thì các số 1/(b+c), 1/(c+a), 1/(a+b) cũng lập thành một cấp cho số cộng.

Lời giải:

*

Đẳng thức (1) thỏa lúc a2, b2, c2 là cấp cho số cộng.

*

Bài 14 (trang 108 SGK Đại số 11): Cho hàng số (un), biết un = 3n. Nên chọn phương án đúng:

a. Số hạng un+1 bằng:

A. 3n + 1

B. 3n + 3.

C. 3n.3

D. 3(n+1)

b. Số hạng u2n bằng:

A. 2.3n

B. 9n

C. 3n + 3

D. 6n

c. Số hạng un-1 bằng:

A. 3n – 1

B. 3n/3

C. 3n – 3

D. 3n – 1

d. Số hạng u2n-1 bằng:

A. 32.3n – 1

B. 3n.3n-1

C. 32n – 1

D. 32(n-1)

Lời giải:

a. Un+1 = 3n+1 = 3n.3.

Chọn giải đáp C

b. Un = 3n = (32)n = 9n.

Chọn câu trả lời B.

c. Un-1 = n-1 = 3n.3-1 = 3n/3 .

Chọn lời giải B.

d. U2n-1 = 32n-1 = 32n.3-1 = 3n.3n-1.

Chọn giải đáp B

Bài 15 (trang 108 SGK Đại số 11): Hãy cho biết thêm dãy số (un) làm sao dưới đó là dãy số tăng, giả dụ biết bí quyết số hạng tổng thể un của nó là:

*

Lời giải:

Lập hiệu un+1 – un ta thấy : (-1)2(n+1) (5n+1+ 1) – ( -1)2n(5n + 1) 4.5n > 0

Vậy hàng ( -1)2n(5n + 1) là dãy số tăng. Chọn câu trả lời B.

Bài 16 (trang 109 SGK Đại số 11): Cho cấp cho số cùng – 2, x, 6, y. Hãy chọn tác dụng đúng vào các hiệu quả sau:

A. X = – 6, y = – 2

B. X = 1, y = 7

C.x = 2, y = 8

D. X = 2, y = 10

Lời giải:

*

Bài 17 (trang 109 SGK Đại số 11): Cho cấp cho số nhân – 4, x, – 9. Hãy họn kết quả đúng trong công dụng sau:

A. X = 36

B. X = -6, 5

C. X = 6

D. X = -36

Lời giải:

*

Bài 18 (trang 109 SGK Đại số 11): Cho cung cấp số cùng (un). Hãy chọn hệ thức đúng trong số hệ thức sau:

*

Lời giải:

Ta có: un là cung cấp số cùng số hạng đầu u1, công không đúng d thì:

u90 + u210 = u1 + 89d + u1 + 209d = 2u1 + 298d = 2(u1 + 149d)

Vậy u90 + u210 = 2u150.

Chọn câu trả lời B.

Bài 19 (trang 109 SGK Đại số 11): Trong các dãy số mang lại bởi những công thức truy tìm hồi sau, nên chọn các dãy số là cấp số nhân: